I den här videon så går vi igenom och löser uppgift 11 – 13 från det nationella provet till matematik 2b, VT2012.

Uppgifter som löses

11. Lös ekvationssystemet 2x – y = -9, 5x + 2y = 0 med en algebraisk metod.
12. Lös ekvationerna a) x²-4x-45=0 och b) $ (x+1)^2 = x + 1 $
13. Thales från Miletos var en grekisk matematiker som levde för 2600 år sedan. Han formulerade en sats med följande innebörd: Varje triangel som är inskriven i en cirkel har en rät vinkel om en av triangelns sidor är diameter i cirkeln. Triangeln ABC är inskriven i en cirkel på ett sådant sätt. Sidan AC är en diameter i cirkeln. Punkten M är mittpunkt på sträckan AC.I figuren är även sträckan BM inritad. a) Förklara varför de två vinklarna betecknade med x är lika stora. b) Visa, utan att använda randvinkelsatsen, att Thales sats är korrekt.

I den här videon så går vi igenom och löser uppgift 16 – 18 från det nationella provet till matematik 2b, VT2012.

Uppgifter som löses

16. Två likformiga rektanglar har olika mått. Rektangel A har sidorna 4 cm och 6 cm och rektangel B har en
    sida som är 12 cm. Vilka kan den andra sidan hos rektangel B ha?
17. En linje L₁ ritas genom punkterna A och B och en linje L₂ ritas genom punkterna C och D. Avgör om dessa bägge linjer är parallella eller inte.
18. Marcus sätter in en stek i ugnen klockan 14.30. Då är temperaturen i steken 16,5 °C. Därefter ökar temperaturen T C° i steken enligt sambandet: T(t) = 16,5⋅1,0085^(t) där t är tiden i minuter. När stektermometern visar 77 °C är steken klar. Hinner steken bli klar till klockan 18.00 då Marcus ska bjuda på middag?

I den här videon så går vi igenom och löser uppgift 19 – 20 från det nationella provet till matematik 2b, VT2012.

Uppgifter som löses

19. Hugo och Inez ska köpa in en ny bil till sitt företag. De har var sin modell för hur de tror att bilens värde kommer att minska. Hugo använder modellen V(t) = 800t² – 24000t + 180000 där V är värdet i kr och t är tiden i år efter bilköpet.
    a) Vad ska Hugo och Inez betala för bilen enligt Hugos modell.
    b) Beräkna V(15) och tolka resultatet.
    c) Inez använder modellen W(t) = 180000-12000t där W är värdet i kr och t är tiden i år efter bilköpet. Beskriv två likheter mellan de båda modellerna för hur bilens värde minskar.
    d) Det finns orimligheter i Hugos och Inez modeller. Beskriv en orimlighet i varje modell.
20. Ett företag fyller konservburkar med krossade tomater. Enligt märkningen innehåller en burk 400 g tomater. Tomaternas vikt är normalfördelad kring medelvärdet 395 g och standardavvikelsen är 5,0 g. a) Hur många procent av konservburkarna kan förväntas innehålla mindre än de 400 g som anges på burken? Företaget vill inte ha för många missnöjda kunder och tänker därför fylla konservburkarna lite mer. De ändrar kravet till att minst 97,7 % av burkarna ska innehålla minst 400 g tomater. Standardavvikelsen antas fortfarande vara 5,0 g.b) Beräkna vilket medelvärde på vikten som motsvarar detta
    nya krav.

I den här videon så går vi igenom och löser uppgift 21 – 23 från det nationella provet till matematik 2b, VT2012.

Uppgifter som löses

21. Alice och Moa som diskuterar medelvärde och median. Alice påstår: ”Medelvärdet av tre på varandra följande heltal är alltid
    lika med talens median.” Moa svarar: ”Nej, det gäller inte alltid.” Vem har rätt, Alice eller Moa? Motivera ditt svar.
22. a) I tabellen och diagrammet här visas längd och vikt för tio män från samma arbetsplats. Använd denna information och bestäm
    ett linjärt samband mellan vikten y kg och längden x cm. b) Utgå från det linjära samband som tagist fram. Tolka vad riktningskoefficienten k betyder i detta sammanhang.

Repetera gymnasiematematiken inför eller under dina högskolestudier

I den här kursen får du som ska läsa matematik på högskolan en heltäckande repetition av gymnasiematematiken inför dina kommande studier. Den passar särskilt bra för dig som skall läsa ingenjörsprogram, naturvetenskapligt program eller ett program med ekonomisk inriktning.

Kursen innehåller 113 videolektioner med tillhörande övningar och förklaringar av dessa. Du kan se ett antal av genomgångarna nedan gratis, prova gärna dessa om du vill få ett smakprov hur vår tjänst fungerar.

• Köp tillgång till kurs

289 kr för 6 månader.

Genomgångar

Grundläggande Aritmetik
Primtal
Räkna med negativa tal	Gratis
Vad är bråktal?
Räkna med bråktal	Gratis
Bråkräkning - Träna mera
Potenser och potenslagarna
Potenser med rationella exponenter
Träna exempel på potenser och potensekvationer
Absolutbelopp

Grundläggande Algebra
Algebra - utveckla uttryck del 1
Rationella uttryck – Addition och Subtraktion
Rationella uttryck – Förkortning
Rationella uttryck – Vad är det?
Problemlösning Algebra
Potensekvationer
Linjära olikheter
Träna mera ekvationer 2
Träna mera ekvationer
Lösa Ekvationer - Ekvationslösning	Gratis
Ekvationer - Så fungerar dom	Gratis
Faktorisering - bryta ut
Algebra - utveckla uttryck del 2
Rationella uttryck – multiplikation och division

Linjära funktioner och linjära ekvationssystem
Vad är funktioner	Gratis
Linjära ekvationssystem med tre okända
Additionsmetoden - Linjära ekvationssystem
Linjära ekvationssystem
Linjära modeller och Linjär anpassning
Parallella och Vinkelräta linjer
Problemlösning Linjära funktioner
Räta Linjens Ekvation - Linjära Funktioner	Gratis
Beteckningen f(x)
Definitionsmängd och värdemängd
Linjära ekvationssystem - Problemlösning	Gratis

Andragradsfunktioner och Andragradsekvationer
Andragradsfunktioner
Andragradsekvationer intro
PQ - formeln
Andragradsekvationer - Träna mera
Problemlösning Andragradsfunktioner

Logaritmer, exponentialfunktioner och potensfunktioner
Potensekvationer
Träna exempel på potenser och potensekvationer
Intro Potens- och Exponentialfunktionen	Gratis
Exponentialekvationer - En introduktion	Gratis
Logaritmer och Exponentialekvationer
Logaritmlagarna och logaritmekvationer
Exponentialekvationer och Potensekvationer - Problemlösning

Vektorer
Vektor och Skalär
Vektoraddition
Vektorsubtraktion

Derivata
Kontinuerliga och Diskreta Funktioner
Genomsnittlig förändringshastighet
Gränsvärden
Derivata - Vad är det?	Gratis
Derivatans Definition
Deriveringsregler Polynom
Naturliga logaritmen ln och talet e
Deriveringsregler Potensfunktioner
Deriveringsregler Exponentialfunktioner
Deriveringsregeln Kedjeregeln
Deriveringsregeln Produktregeln
Deriveringsregeln Kvotregeln
Derivata och Tangentens lutning
Växande och avtagande funktioner
Andraderivata	Gratis
Derivata, nollställen & teckenschema
Minsta och Största värde
Derivatans graf och Funktionens graf
Problemlösning med Derivata och kurvor	Gratis
Asymptoter
Asymptoter - Problemlösning

Grundläggande Trigonometri
Trigonometri - Introduktion av cos, sin och tan	Gratis
Cosinussatsen
Sinussatsen
Areasatsen
Trigonometriska Formler - Träna mera
Trigonometriska formler
Trigonometriska ekvationer
Trigonometriska ettan
Enhetscirkeln
Problemlösning Trigonometri

Trigonometriska funktioner
Trigonometriska funktioner - intro
Radianer - mäter vinklar
Trigonometriska funktioner fortsättning
Skissa trigonometriska funktioner
Kurvan till y = tan x
Kurvan till y = asinx + bcosx
Trigonometriska funktioner problemlösning 1
Derivera Sinx och Cosx - Kedjeregeln
Trigonometriska funktioner problemlösning 2

Integraler och volymintegraler
Integraler - Vad är det?	Gratis
Primitiva Funktioner
Primitiva Funktioner med villkor
Integraler - definitionen
Integraler - Räkna med dem
Integraler och Areor
Integraler - Arean mellan kurvor
Problemlösning Integraler
Volymintegraler	Gratis
Träna mer på Skivmetoden
Volymintegraler och Cylindriska skal

Komplexa tal och Polynom
Komplexa tal - Imaginära tal	Gratis
Absolutbeloppet och Komplexa konjugatet
Räkna med Komplexa Tal
Vektorer och avstånd mellan komplexa tal
Komplexa tal på Polär form
Multiplikation och Division på Polär form
De Moivres och Potenser av komplexa tal
Ekvationer med komplexa rötter
Eulers formel
Problemlösning Komplexa tal
Faktorsatsen
Polynomdivision
Polynomekvationer

Vi har i dagarna här släppt en ny kurs på Matematikvideo.se som vi kallar för Matematik inför Högskolan. I den här kursen har vi försökt att möta det behov som kan finnas att repetera, fördjupa och fräscha upp sina matematikkunskaper inför studier på högskolan.

Det kan ju både gå ett eller två (eller ännu mer) år mellan att man har läst klart gymnasiet tills att högskolestudierna påbörjas. Då är det lätt att ha glömt av kvadreringsregler, deriveringsregler eller hur det var man beräknade en integral.

Så i den här kursen har samlat hela 113 videogenomgångar med tillhörande test och förklaringar med det vi tror kan vara riktigt bra att repetera innan man sätter igång med ingenjörsstudier, naturvetenskapliga studier eller någon annan utbildning där man skall läsa en hel del matematik.

Fråga gärna om kursen i kommentarerna här nedan eller kontakta oss om du har några frågor om hur kursen fungerar. Annars kan du kika på kurssidan här.

För några veckor sedan släppte vi kursen till Matte 5 här på MatematikVideo och denna har nu även fått sin första påfyllning av videos på området grafteori. Jag tänkte därför blogga lite om just detta område och då särskilt de broar som till viss del har varit orsaken till att grafteorin har skapats.

En bild på hur broarna såg ut och en graf som kopplar samman olika hörn till en graf.

Köningsbergs 7 broar och Euler

Det klassiska problem som i mångt och mycket gav upphov till grafteorin kallas för Köningsbergs 7 broar. Det var nämligen så att man i staden Köningsberg (nuvarande Kaliningrad) funderade på följande fråga i staden:

”Går det att passera alla broar som binder samman de två öarna med fastlandet utan att passera varje bro mer än en gång?”

Ingen hade under sin söndagspromenad över broarna hittat ett sätt att genomföra denna typ av vandring genom staden.

När Leonard Euler (Schweizisk matematiker) fick höra talas om problemet bestämde han sig för att försöka undersöka om detta var möjligt. Det han då gjorde var att rita en slags schematisk bild över broarna (det som kom att kallas grafer) för att på detta vis få en bra överblick över hur dessa kopplades samman. Det var inte bara smart ur bekvämlighetsperspektiv (han slapp vandra fram och tillbaka) utan gjorde också att han kunde bevisa att denna promenad faktiskt var omöjlig.

Det han visade var att om det finns två eller flera noder som har ett ojämnt antal kanter så är det omöjligt att genomföra en sådan vandring.

Numera är faktiskt denna vandring möjlig men inte för att Eulers bevis inte stämde. Istället raderade andra världskriget två av broarna och en ny bro byggdes vilket möjliggjorde vandringen.

Eulerväg, Eulerkrets och grafteori

En väg som beskriver en vandring enligt problemet ovan kallas för en Eulerväg. Om vandringen också skall starta och sluta i samma hörn (kallas också för nod) så kallas denna vandring istället för en Eulerkrets. Detta är alltså det man inom grafteorin kallar för en sluten vandring då man startar och slutar i samma hörn.

Detta problem är alltså en av orsakerna till att vi idag jobbar med området grafteori i kursen matematik 5. Man kan tycka att det faktiskt inte verkar vara så stor praktisk nytta med att förstå detta område. Men grafteorin innehåller numera en rad andra tillämpningar som faktiskt kan komma till användning. Exempelvis kan man med grafteori bygga upp metoder för att hitta kortaste vägar mellan orter eller för att minimera kostnader.

Läs mer om matematik och kända problem

• Primtal, Eratosthenes såll och att få betalt för primtal
• Kotten och Fibonacci
• Get eller Bil – Monty Hall problemet

The post Köningsbergs 7 broar och grafteori appeared first on Matematikvideo.

I kursen matte 5 på gymnasiet läser man om kombinatorik och binomialsatsen och då stöter man på något som kallas för Pascals triangel. Det här är ett fascinerande sätt att enkelt kunna utveckla så kallade binom (mer om vad det är snart) som har högre grad än 2.

Vem var Pascal?

Räknemaskinen Pascalline skapad av Blaise Pascal

Den som har fått ge namn åt denna triangel, uppbyggd av tal, är den franske matematikern Blaise Pascal som levde på 1600 – talet. Pascal var verksam inte bara inom matematik utan även inom fysik och religion.

Pascal räknas bland annat som den förste att uppfinna en räknemaskin som mekaniskt kunde räkna addition och subtraktion. Hans räknemaskin, som kallades för Pascalline användes bland annat för att förenkla räknearbetet i hans fars affär.

Pascal har även fått ge namn åt den fysikaliska enheten för tryck och åt programmeringsspråket Pascal.

Binom och Pascals triangel

Så vad är då ett binom och pascals triangel?

Förklaring av koefficient, variabel och exponent

Ett binom är ett algebraiskt uttryck med två stycken termer, exempelvis $(a+b)$ eller $(x^2+2)$. Vanligt är man på gymnasiet övar sig att utveckla sådan uttryck med hjälp av kvadreringsreglerna, exempelvis att $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ men hur gör man egentligen om man skall utveckla $(a+b)^3$, $(a+b)^4$ eller $(a+b)^8$? Om du själv provar att utveckla dessa uttryck kommer du att märka att det blir en hel del räknearbete. Väldigt mycket och ganska tråkigt räknearbete också.

Om vi ändå skulle göra några av dessa utvecklingar så kan vi se ett mönster som vi kan använda oss av.

$(a+b)^0=1$

$(a+b)^1=a+b$

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$

$(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

Om vi här ställer upp koefficienterna i vänsterledet ovanpå varandra så får vi följande:

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1

Här kan vi se att koefficienterna i en utveckling kan tas fram genom att man först sätter ut en etta i början och slutet på nästa rad. Sedan bildas talen mellan dessa genom att addera de två talen ovanför. Exempelvis får vi raden 1 4 6 4 1 genom 1, 1+3, 3+3, 3+1, 1. Om du automatiskt vill hitta fler koefficienterna för högre utvecklingar så kan du använda generatorn här nedan.

Notera även att det finns ett mönster för hur exponenterna utvecklas. Om vi tittar på utvecklingen av

$(a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4$

så kan vi se att exponenten till a minskar för varje term samtidigt som exponenten för b ökar med ett steg för varje term!

Med hjälp av detta kan vi alltså utveckla binom med mycket höga exponenter och ändå göra det på ett snabbare och mer effektivt sätt. Genom att ha en metod så minskar vi även risken att göra enklare räknefel.

Lista fler koefficienter och Rita ut Sierpinski

Här kan du lista fler rader (än ovan nämnda) i pascals triangel. Du kan även färglägga jämna och ojämna tal och därmed få en approximation till Sierpinskis triangel.

[pascal]

Läs mer

• Köningsbergs 7 broar
• Primtal och Eratosthenes såll
• Kotten och Fibonacci

The post Pascals triangel, binom och Sierpinskis triangel appeared first on Matematikvideo.

Vad är det som gör att vi upplever något som vackert, harmoniskt eller proportionerligt? Man brukar ju säga att smaken är som baken (delad) men i många fall så upplever vi människor vissa saker som vackra eller inte.

I det här blogginlägget tänkte jag att vi skulle titta på ett förhållande som kallas för gyllene snittet som är ett alldeles speciellt förhållande mellan längder. Det är nämligen så att detta återkommer om och om igen i naturen och vi människor ofta upplever det som vackert. Vi skall börja med att försöka återskapa detta förhållande med passare och linjal fast i digital form.

Beräkna gyllene snittet med passare och linjal – animerat

[goldenratio]

• Börja med att klicka på starta här ovan. Följande händer:
• Först ritas sträckan AB ut.
• Sedan ritas sträckan BC ut vinkelrätt mot AB. Denna sträcka har längden AB/2, dvs halva AB.
• Sedan binder vi samman A och C med hypotenusan AC.
• Nu tar vi fram en passare (i digital form). Vi sätter nålen i C och pennan i B och ritar första cirkelrörelsen.
• Nu sätter vi nålen i A och ritar cirkelrörelsen från den punkt där den första cirkelrörelsen träffade hypotenusan. Vi fortsätter ner till sträckan AB.
• Där vi träffar AB har vi det gyllene snittet!

Om vi kallar punkten där vi har det gyllene snittet för $ E $ så kommer följande förhållande att ges utifrån den bild som har ritats ut ovan:

$ \frac{AE}{EB} ≈ 1.61803398874989 $

Så varför är just detta förhållande såpass intressant?

Varför uppskattar vi det gyllene snittet och hur används det?

Om vi skulle filosofera lite (gissa) kring varför det gyllene snittet upplevs som vackert så kan det bero på att det faktiskt återkommer i naturen på många olika vis. Det här påverkar såklart oss människor. Du kan hitta det gyllene snittet i alltifrån grankottar, fibonaccis talföljd, tavlor till hur solrosor ser ut så säkerligen har vi människor påverkats av detta.

Låt säga att vi skall måla ett landskapsmotiv och vill använda oss av att det gyllene snittet ofta upplevs som vackert om vi placerar horisonten efter detta då tavlan är 1 meter hög (vi målar ett stående motiv). Vi kan då använda oss av att vet att gyllene snittet är cirka 1.618 för att placera ut horisonten ungefär rätt.

Så om vi tänker oss att a/b = 1,618 så ger det oss att a = 1,618⋅b. Eftersom att tavlan är 1 meter hög så vet vi att

$ 1,618b + b = 1  ⇔ b = 0,38 $

Dvs vi drar vårt röda gyllene streck på höjden (ungefär) 38 cm och ritar vårt landskap under detta. Förhoppningsvis kommer då våra utställningsbesökare att uppskatta tavlan och vi säljer den kanske dyrt ;-).

Hur definieras det gyllene snittet?

Det kan också vara intressant att gå in på hur det gyllene snittet kan tas fram mer exakt. För detta så måste vi gå till definitionen av gyllene snittet:

När en sträcka delas i en längre del a och en kortare del b så är det gyllene snittet när förhållandet mellan a och b är samma som förhållandet mellan a+b till a. Dvs att
$ \text{Gyllene snittet} = \varphi = \frac{a+b}{a}=\frac{a}{b} $

Vi gör så att vi sätter $ \text{Gyllene Snittet} = \varphi $ och vi vet att
1) $ \varphi = \frac{a+b}{a} $
2) $ \varphi = \frac{a}{b} $

Vi delar alla delar i 1) med b och får då

Från 2) vet vi att $ \varphi = \frac{a}{b} $. Vi byter därför ut $\frac{a}{b}$ mot $\varphi$ så att vi får att

$\frac{\frac{a}{b}+1}{\frac{a}{b}} = \frac{\varphi+1}{\varphi} $

Detta skall vara lika med det gyllene snittet $ \varphi $ så vi får därmed följande ekvation:
$ \frac{\varphi+1}{\varphi} = \varphi ⇔ $ (Förläng med $ \varphi $)
$ \varphi+1 = \varphi^2 ⇔ $ (Flytta över till en sida om likhetstecknet)
$ \varphi^2-\varphi-1 = 0 ⇔ $

Här kan vi används oss av pq-formeln för att lösa ut $ \varphi $ men vi tar bara med den positiva lösningen då det är geometriska avstånd som avses:
$ \varphi = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4}+1} ⇔ $
$ \varphi = \frac{1}{2} + \sqrt{\frac{5}{4}} ⇔ $
$ \varphi = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2} ⇔ $
$ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} $

Nu har vi det gyllene snittet:
$ \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2} ≈ 1.61803398874989 $

Läs mer om Matetematik

• Att dela med noll – Vad händer egentligen?
• Vad är oändligheten?

The post Det gyllene snittet, konst och matematik appeared first on Matematikvideo.

Nu börjar det närma sig skolstart och matematikkurserna skall snart dra igång för höstterminen.

Här på matematikvideo, dvs Simon och David, har vi haft en välbehövlig semester. Sommaren har ju varit alldeles fantastiskt fin vädermässigt så nu finns det ny energi att knäcka några riktigt svåra ekvationer.

Ny sajt och nya funktioner

Vi tänkte även dela med oss av några nyheter som är på gång upp på vår sajt inom den närmsta framtiden. Vi har under en period utvecklat en helt ny sajt som förhoppningsvis blir ett lyft för dig som använder vår tjänst för att lyckas bättre med din matematikkurs.

Det första som kommer att hända är att det blir en ny design som förhoppningsvis gör att det blir lite härligare att vila sitt öga på skärmen. Den kommer såklart fortfarande att vara mobilanpassad.

Vi kommer även införa ett statistiksystem där du som användare kan se vad du har gjort och hur det har gått på olika övningar och videos. Då blir det enklare att plugga mot ett tydligt mål och inte missa viktiga lektioner.

Det kommer även bli en väldigt stor förändring gällande vad man får tillgång till och vad man inte får tillgång till men mer om det senare. Det som kan vara viktigt att nämna här är att inga nuvarande kunder kommer att missa något eller känna att de har betalat för mycket för sin tjänst.

Frågor och fundering?

Om du har några funderingar, feedback eller undrar något om vår tjänst så är du varmt välkommen att kontakta oss så hjälper vi dig vidare!

The post Nyheter inför hösten appeared first on Matematikvideo.

Idag måndag den 25:e augusti har vi uppdaterat vår sajt och vi vill här berätta om vad som är nytt eller förändrat. Förutom att det är en ny design (som du säkert redan har märkt) så innebär det här en del förändringar för skolor och privatpersoner.

För privatkonton (enanvändarkonton)

Du kan fortfarande logga in som vanligt men en viktig förändring är att du nu använder din e-postadress istället för ditt användarnamn vid inloggningen. Du har fortfarande samma lösenord som tidigare.
Tidigare har du haft tillgång till den/de kurser som du har valt att köpa. From idag har du tillgång till allt på Matematikvideo.se under den tid som du har kvar på ditt abonnemang.
När du nu gör övningar, ser videos eller läser en text så sparas dina aktiviteter och du kan se vad du har gjort, vad som har gått bra och vad du kanske behöver träna mera på.

Tveka inte att kontakta oss om du har några frågor om vår tjänst. Du når oss enklaste på följande mailadresser:
Information, kundtjänst: info@matematikvideo.se
Teknisk support: support@matematikvideo.se

För skolor

Eleverna loggar fortfarande in med samma användarnamn och lösenord som tidigare. När de loggar in styrs de automatiskt till en sida där de skapar ett eget konto och kopplar ihop sitt konto med ert skolkonto. Sedan kan de fortsätta att använda tjänsten som vanligt.
När du som lärare loggar in på ert administratörskonto så kan ni välja att skapa ett nytt lärarkonto. Detta gör du genom att gå in på “Mitt konto” och kopiera kopplingskoden för lärare. Sedan går ni till kontoregistreringen och väljer att skapa ett lärarkonto, glöm inte att fylla i kopplingskoden.
Nu kan ni som skola även koppla ihop lärare och elever så att du som lärare kan se hur det går för eleverna, vilka videos som de har sett och vilka övningar som gjorts och hur det har gått på dessa.

Tveka inte att kontakta oss om du har några frågor om vår tjänst. Du når oss enklaste på följande mailadresser:
Information, kundtjänst: info@matematikvideo.se
Teknisk support: support@matematikvideo.se

The post Matematikvideo.se har uppdaterats – Läs om vad som är nytt här appeared first on Matematikvideo.

I måndags släppte vi vår nya sajt och med den följde inte bara ny videoteknik, nya övningar och ett bättre statistiksystem utan också lite mindre nyheter. En sådan nyhet är den lilla miniräknaren som nu följer med dig på sidor här på Matematikvideo. Här berättar vi om denna och hur den kan effektivera dina beräkningar när du gör övningar och räknar själv.

Varför en räknare?

Den senaste tiden har vi fyllt på med väldigt mycket övningar och vi ser även att många av våra besökare använder dessa väldigt mycket. Det här tycker vi förstås är väldigt roligt då vi tror att det är ett bra sätt att kontrollera att du har förstått innehållet i videon och att problematisera detta och se olika typer av frågeställningar på ett effektivt sätt.

När man sitter framför en dator så kan det dock vara lite jobbigt att få fram en räknare precis när den behövs. Kanske använder du någon online räknare eller har en grafritande räknare liggande bredvid datorn/surfplattan/mobilen? Tanken med räknaren var att förenkla detta för dig. Nu har du en räknare alltid tillgänglig längst ner till höger i din webbläsare. Så att du slipper byta flikar, fönster, program eller rota fram räknaren som ligger längst ner i ryggsäcken.

Vad kan du göra med räknaren?

Räknar innehåller de allra vanligaste funktionerna som behövs när du gör beräkningar inom grundskole- och gymnasiematematik. Bland annat kan du

• Göra vanliga beräkningar med operationerna addition, subtraktion, multiplikation och division.
• Beräkna potenser.
• Beräkna kvadratrötter.
• Beräkna logaritmer.
• Beräkna trigonometriska värden och inverser med både grader och radianer som vinkelmått.
• Göra beräkningar med komplexa tal (använd i för beteckning av den imaginära delen).
• Alla dina beräkningar sparas lokalt i din egen webbläsare. Dvs det är inget som vi sparar på Matematikvideo.se utan det är endast du själv som har tillgång till historiska beräkningar i din webbläsare.

Räknaren har också en symbollista som är tänkt att kunna användas för att snabbt hitta de symboler som du söker. Det här kan du exempelvis använda när du ställer frågor och diskuterar i kommentarer och på vårt forum.

Har du testat den?

Om du har testat räknaren och tycker att något verkar svårt att veta hur man gör så får du gärna kommentera detta här nedan eller kontakta oss. Vi kommer kontinuerligt att uppdatera räknaren med buggfixar (när de dyker upp) och lägga till mer funktionalitet.

The post Effektivisera pluggandet med vår nya räknare appeared first on Matematikvideo.

Du kanske inte ens har märkt att den varit borta eller visste att den fanns?

Nu är i alla fall ett populärt litet verktyg här på Matematikvideo tillbaka, nämligen en PQ – formel kalkylator som hjälper dig som snabbt vill se lösningar på andragradsekvationer.

Egentligen är det inte bara lösningen du får se utan alla steg fram till lösningarna. På det här sättet kan du lättare se var du själv kanske gjorde ett snedsteg i metoden eller inte visste på vilket sätt du skall ta dig framåt mot lösningarna.

Så fungerar den

Kalkylatorn fungerar så att man behöver skriva in $a$, $b$ och $c$ i den allmänna formeln för en andragradsekvation $ax^2+bx+c=0$. Sedan gör kalkylatorn så att den steg för steg använder metoden PQ-formeln (som bygger på kvadratkomplettering) och även visar alla steg i lösningen.

Sedan visas lösningen som exempelvis $x=2\pm3$ vilket också skulle kunna skrivas som

$ \begin{cases} x_1=-1 \\ x_2=5  \end{cases} $

Testa gärna kalkylatorn så tror jag du snabbt inser hur den fungerar och hur den kan hjälpa dig!

The post Kalkylatorn för pq formeln är tillbaka appeared first on Matematikvideo.

Här på Matematikvideo har du säkerligen fått lyssna en hel del på Simon som gör videogenomgångarna. En person som kanske inte hörs lika mycket men som är minst lika viktig för att allt skall rulla på och fungera är David Karp. David är systemutvecklaren som har byggt hela den här sajten och vi tyckte att det var dags att ställa lite frågor till honom och höra efter vad han inspireras av och vad han egentligen tycker om ämnet matematik.

Vem är du?

Systemutvecklare och en av grundarna på Matematikvideo.se. Tvåbarnspappa och hobbysnickare. Son till en matematiklärare och gift med en sen 4 år.

Vilken utbildning har du?

Magisterexamen i datakommunikation.

Vad inspireras du av?

Personer som tänker utanför boxen, genomför sina idéer och vågar utmana etablerade områden. Just nu är jag ganska inspirerad av Elon Musk som står bakom elbilen Tesla.

Vilka delar i ditt jobb tycker du är allra roligast?

Att få jobba med en helt egen produkt och att den berör så många olika nivåer av tekniker och lösningar.

Vad tyckte du om ämnet matematik på gymnasiet?

Matte var ett av mina favoritämnen. Jag gillade logiken. Att det inte fanns en massa undantag och regler som t.ex. i språk.

Du har även läst matematik på högskola, vad tyckte du om det?

Steget från gymnasiematten var inte så stort som jag trott. Svårigheten låg mer i studieteknik och eget ansvarstagande. Parallellt fick vi också använda våra mattekunskaper i andra ämnen vilket var inspirerande.

Vilken användning har du av matematik i din yrkesutövning?

När man jobbar med programmering som jag gör så använder man matematik väldigt mycket. Programmeringen berör flera olika områden inom matematiken. Jag har gjort en hel del grafisk 3D-programmering. Då använder man sig av geometriska funktioner för att få olika saker på skärmen ska röra sig på ett trovärdigt sätt.

The post Han använder matematiken när han programmerar appeared first on Matematikvideo.

I det här blogginlägget tänkte jag att vi skulle fördjupa oss lite i ett av de allra vanligaste sambanden som används i gymnasiets matematik nämligen Pythagoras sats. Det är ju aldrig fel att känna till lite kring historien, användningsområden, bevis och lite kuriosa kring de matematiska samband som du kanske dagligen jobbar med i din matematikkurs.

Pythagoras – Om den grekiska filosofen och matematikern

Pythagoras föddes år 580 f.v.t på ön Samos i nuvarande grekland. Inspirerad av bland annat matematikern Thales reste han till Egypten för att studera matematik och filosofi. När den persiske kungen invaderade Egypten fördes han till Babylonien som krigsfånge där han studerade deras filosofi och läror.

Efter ett tag återvände han till Samos men reste sedan vidare till Kronos i Italien där han grundade sitt sällskap pythagoréerna. Pythagoras och pythagoréerna trodd

e att världen var uppbyggd av heltal, läs mer om tal här, då även bråktal (rationella tal) kunde byggas upp med heltal. Enligt en legend lyckades en av hans lärjungar visa att $\sqrt{2}$ inte kunde skrivas som ett bråk då det är irrationellt och denne lärjunge skall för detta ha blivit belönad med döden genom dränkning!

Det som Pythagoras är allra mest känd för är dock den matematiska satsen som blivit döpt efter hans namn. Det är dock inte säkert att det är han som formulerade den först då den kan ha varit känd tidigare.

Vad säger pythagoras sats?

Pythagoras sats är intressant i gymnasiets matematik då den är en av de samband som återkommer i många olika områden. Det är inte bara sambandet i själv som du lär dig om i matematik 1 utan det återkommer i områden som trigonometriska triangelsatser, trigonometriska formler, komplexa talplanet, vektorer och talteori.

Innan vi nämner några typiska sådana användningsområden så kan vi först gå igenom vad denna sats egentligen säger.

Pythagoras i gymnasiets matematik

Avstånd mellan punkter (i planet) och längden på vektorer

När man skall beräkna avstånd mellan två punkter kan Pythagoras sats användas till detta. Här används att det ofta är enklare att läsa av avståndet horisontellt eller lodrät mellan två punkter alternativt att man faktiskt känner till koordinaterna. Sedan kan de bägge punkterna bindas samman i en rätvinklig triangel och pythagoras sats kan användas för att bestämma avståndet.

Ovan nämnda metod kan generaliseras i avståndsformeln som säger att avståndet mellan två punkter $(x_1,y_1)$ och $(x_2,y_2)$ är

$d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Trigonometriska ettan

Pythagoras sats kan även användas för att ta fram olika samband inom trigonometrin. Ett exempel på ett sådant är trigonometriska ettan som säger att

$sin^2v+cos^2v=1$

Här använder man enhetscirkeln för att härleda detta samband. En förutsättning är att på enhetscirkeln är radien $1 \, l.e$.

Här gäller att vi punkten med x-värdet $cosv$ och y-värdet $sinv$ och vi ställer upp sambandet

$cos^2v+sin^2v=1^2 ⇔ $

$cos^2v+sin^2v=1 $

Här ovan har du sett två stycken områden där Pythagoras sats används i olika områden i gymnasiets matematik. Självklart finns det mer områden där detta samband kommer till användning, inte minst i olika problemuppgifter där sambandet kan vara en del av lösningen.

Ett enkelt gif bilds bevis för pythagoras (det finns över 100 till)

Det finns hundratals bevis för att Pythagoras sats verkligen stämmer, här samlas exempelvis 102 av dessa bevis.

Ett lite enklare visuellt bevis visas nedan i animationen.

Här är en rätvinklig triangel som har kateterna 4 och 3 och hypotenusan 5 där pythagoras ger att $ 3^2+4^2=5^2 $. I bilden visas hur kvadraterna av kateterna ritas (16 respektive 9 stycken) samtidigt som kvadraten av hypotenusan (16+9=25) ritas ut. Här ser vi att summan av kateternas kvadrater är lika med hypotenusans kvadrat. Vi kan om vi vill byta ut 3:an, 4:an eller 5:an mot andra värden i en rätvinklig triangel och det går då att rita upp samma typ av bevis för denna.

Pythagoreiska tripplar

Jag tänkte att vi skulle avsluta det här blogginlägget med lite kuriosa kring några speciella rätvinkliga trianglar.

En typ av rätvinkliga trianglar som har fascinerat matematiker genom åren är de som kallas för pythagoreiska tripplar. En pythagoreisk trippel är en rätvinklig triangel som består av sidorna $a,\,b\,och\,c$ och där a, b, c är heltal sådan att

$ a^2+b^2=c^2 $

Exempel på sådana är

(3, 4, 5 )
(5, 12, 13)
(8, 15, 17)
(7, 24, 25)

Kan du hitta fler sådana här typer av trianglar?

The post Pythagoras sats – Ett samband som återkommer genom hela gymnasiet appeared first on Matematikvideo.

Kanske drömmer du om att forska på det område som du tycker är allra mest intressant i framtiden?

En som gör det är Erik Ulfhammer som forskar inom medicin och på det alltid lika aktuella området hjärt-kärlsjukdomar. Vi bestämde oss för att intervjua honom om hans forskning, vad man skall tänka på om man vill bli forskare och hur han använder matematik i sitt arbete Vi får också reda på att hans forskningsgrupp alldeles nyligen har gjort mycket positiva upptäckter.

Vem är du?

Jag är en 40-årig småbarnsfar som efter naturvetenskapligt program på gymnasiet läst en magisterexamen i molekylärbiologi på universitetet och därefter en forskarutbildning (doktorsexamen) i medicin. Jag arbetar sedan ganska många år tillbaka i en forskargrupp på Sahlgrenska Akademin i Göteborg. Vår forskargrupp leds av en professor och vi är ca 10 personer i gruppen med olika bakgrund, såsom biologer, kemister och läkare.

Vad inspireras du av?

Jag inspireras av människor som är kunniga, talangfulla och har ett brinnande och genuint intresse för något som ligger just dem varmt om hjärtat.

Du forskar för tillfället, kan du berätta lite om din forskning och vilka mål du har med den?

I vår forskargrupp forskar vi på människokroppens inbyggda försvar mot blodproppar. Detta försvar sitter i blodkärlens väggar och utgörs framför allt av ett mycket viktigt enzym som kan frisättas till blodet då en blodpropp håller på att täppa till kärlet. Enzymet löser upp blodproppen och håller kärlet öppet för blodcirkulationen. I många risktillstånd för hjärt- och kärlsjukdom, såsom högt blodtryck, åderförkalkning och fetma, är detta försvarssystem nedsatt då kärlväggen har för dålig produktion och tillgänglighet av detta viktiga enzym.

Vår arbetshypotes är att om man bara kan finna en väg att stimulera produktionen av enzymet hos patienter i riskgrupper för att utveckla hjärt-kärlsjukdom, så har man därigenom återställt deras försvar mot blodpropp. Till vår stora glädje har vi nyligen upptäckt en grupp av substanser som har förmågan att kraftigt skruva upp enzymets produktion i olika experimentella modeller (cellodlingar, försöksdjur). Just nu håller vi på att undersöka om substanserna har den eftersökta effekten även hos människa och håller våra lovande fynd hoppas vi på att det skall sluta med att ett nytt läkemedel kan komma patienter till nytta.

Vilken användning har du av matematik i din yrkesutövning?

Jag använder matematik då jag planerar mina försök. Jag beräknar hur försöken skall läggas upp med olika behandlingsgrupper och hur experimenten bör vara designade för att efter försökens genomförande kunna behandla data på rätt sätt och med rätt statistik. Jag använder även matematik vid beredningar av olika lösningar och kemikalier och även mycket i all hantering av forskningsdata – insamling, sammanställning och presentation.

Vad tyckte du om ämnet matematik på gymnasiet?

Jag gillade matematik på gymnasiet även om det inte var mitt absoluta favoritämne. Men jag har i efterhand insett hur nyttigt och användbart det är med goda matematikkunskaper i många lägen, såväl i arbetslivet som utanför jobbet.

Vad skulle du vilja ge för råd till den som är intresserad av att börja forska?

Mitt råd är att försöka hitta ett forskningsämne som verkligen intresserar dig. Prova gärna att komma i kontakt med olika projekt under din grundutbildning på universitetet så är det lättare att få en bättre uppfattning om vad som passar och fängslar just dig. Förutom ämnet är det också väldigt viktigt att hamna i en god forskningsmiljö med kompetenta medarbetare och framför allt en duktig och hängiven handledare. Som forskare bör man ha stort intresse och stort tålamod. Forskning är sällan raka spåret, utan många omvägar och ”tänka om”, men när det går bra och framåt är det oerhört stimulerande.

The post Han använder matematiken i forskning om hjärt-kärlsjukdom appeared first on Matematikvideo.

Några av de allra vanligaste frågorna vi får på matematikvideo handlar om ekvationer och ofta så handlar dessa om ekvationer som innehåller bråk.

Det kan vara svårt att känna att man klarar av att hantera dessa typer av ekvationer men med så många andra områden i matematiken så hjälper det att träna på och se många exempel. I det här blogginlägget tänkte jag att vi kunde hjälpa din inlärningsprocess lite på vägen med att visa olika alternativ för att lösa dessa typer av ekvationer.

Skriva om till samma nämnare

När du löser ekvationer som innehåller bråk är ett sätt att lösa dessa genom att göra om delar av eller hela ekvationen så att den innehåller samma nämnare.

Det här förutsätter att kan förlänga och förkorta bråktal (länk) så om du känner dig osäker på detta så kika på det först.

Här gjorde vi alltså bara om vänsterledet (VL) så att vi hade samma nämnare där, men det går även att se till så att alla termer i vänsterledet och i högerledet har samma nämnare och sedan skriva ekvationen lite enklare.

Att förkorta bort alla nämnare i en ekvation med bråk

Det vi kan göra är även att skriva alla termer i ekvationen så att de har samma nämnare. Då kan du sedan förkorta bort alla nämnare och få en ekvation som är lite enklare att hanter. Vi skall ta ett exempel även på detta.

Multiplicera ekvationerna och bråken korsvis och förutsättningarna för detta

Ofta så hör man också att man kan multiplicera bråken korsvis för att på det viset lösa en ekvation. Vad innebär då egentligen detta och när kan man göra det?

En grundförutsättning är att ekvationen har ett bråk i vänsterledet och ett bråk i högerledet. Detta kan vara förutsättningen från början men kan också vara något som du har förenklat dig fram till. När du korsmultiplicerar bör det alltså se ut på följande vis.

Sedan multipliceras vänsterledet med högerledets nämnare och vice versa. Det som händer då är att nämnarna förkortas bort och ekvationen blir enklare att lösa. Vi tar ett exempel på hur detta kan gå till.

Läs vidare och fördjupa dig om ekvationer

Det finns förstås en hel del olika typer av fall man kan råka ut får som vi kanske inte har täckt in i just det här blogginlägget. Förhoppningsvis har det ändå hjälpt dig som håller på att lära dig om dessa typer av ekvationer att se lite olika möjliga vägar att bemästra dessa typer av ekvationer. Om du är intresserad av att fortsätta träna på detta så kanske också några av följande lektioner kan vara intressant för dig:

• Träna mera ekvationer
• Träna mera ekvationer 2

The post Att bemästra ekvationer med bråk appeared first on Matematikvideo.

Kanske har du någon gång hört talas (eller tom sett) ett möbiusband och funderat på hur det där egentligen går ihop? Här skall vi reda ut vad ett möbiusband är, visa i en video hur du själv enkelt kan klippa till ett möbiusband och vad som egentligen händer om man klyver bandet två gånger till.

Vad är ett möbiusband och varför är det egentligen intressant?

När man skapar ett möbiusband så gör man så att man klipper till en rektangulär remsa och vrider ena kortsidan en gång innan de bägge ändarna sätts ihop. Det som händer då är att det skapas en yta med endast en sida. Så om man skulle låta en myra (detta djur används ofta vid detta exempel) vandra utmed bandet så skulle den vandra runt och runt och hela tiden befinna sig på den enda sidan som existerar. Den kommer alltså inte att ”missa” en sida.

Möbiusbandet kan också klyvas (se video nedan) en gång till och ett nytt och lite större möbiusband skapas. Om man sedan klyver bandet ännu en gång kommer det istället att skapas två band (ej möbiusband) som sitter ihop som en kedja.

Möbiusbandet har fått sitt namn efter August Ferdinand Möbius som var en tysk matematiker och astronom.

Klipp till ett eget möbiusband – Video

The post Möbiusband – en yta med bara en sida? appeared first on Matematikvideo.

Sakta men säkert så fyller vi på med fler genomgångar och förnyar även de lite äldre videolektionerna.

Nu var turen kommen till att förnya våra videos om rationella uttryck som framförallt behandlas i kurserna Matematik 3bc (Tidigare i matematik C). Det här är ett område som kan kännas lite torrt, tekniskt och inte så spexigt. Det är däremot ett mycket viktigt område att behärska för att kunna klara av gränsvärden, derivata och andra på dessa följande områden.

Vad är ett rationellt uttryck och mycket mera

I de här genomgångarna lära du dig vad ett rationellt uttryck är och hur de förkortas. Sedan går vi in på addition och subtraktion av dessa uttryck och inte minst multiplikation och division. Sedan finns det även en genomgång med lite blandade problem.

Vi hoppas att dessa genomgångar hjälper dig som pluggar den här kursen och att de nya genomgångarna ger en bredare bild (det är mycket fler exempel nu) som hjälper till att förstå hur man hanterar dessa viktiga uttryck.

The post Nya videos och övningar om rationella uttryck appeared first on Matematikvideo.

Det är dags för lite spel här på bloggen. Nedanför hittar du ett litet (med betoning på litet) spel där det gäller att gissa vilken funktion som är utritad. Testa gärna så kommer du snabbt förstå hur det fungerar. Kommentera gärna hur många funktioner du lyckas att pricka på 30 sekunder! Det vore också intressant att höra om ni tycker att det är svårt eller lätt.

Spelregler

• Du har 30 sekunder på dig att klicka på rätt funktion och samla så många poäng som möjligt.
• Om du klickar rätt får du en poäng, klickar du fel får du en poäng mindre.
• Lycka till!

Så känner du igen funktionen – Hjälp för att lyckas (bättre)

Det kan förstås vara så att det är ganska svårt att snabbt se vilken typ av funktion som ritas ut på skärmen framför dig. Då kan det vara bra att läsa igenom beskrivningar av de olika funktionerna nedan, för det är väl klart att du vill sätta så hög poäng som möjligt!

Linjära funktioner

Linjära funktioner är funktioner som utritade i en graf är en rät linje. Du känner igen en linjär funktions formel genom att den högsta exponenten till variabeln är 1.

Exempel på linjära funktioner kan vara $y=3x+1$, $y=10$ och $y=2x$. Nedan har vi ritat ut grafen till funktionen $y=3x+1$.

Lär dig mer om räta linjens ekvation och linjära funktioner

Andragradsfunktioner

En andragradsfunktion innehåller variabeln $x^2$ och när de ritas ut kallas de för en parabel. Du kan tänka att de ser ut som en glad eller ledsen mun som är symmetrisk kring en lodrät symmetrilinje. Om formeln har en $+x^2$ term ser grafen ut som en glad mun och om formeln har en $-x^2$ term så ser den ut som en ledsen mun.

Exempel på formler till andragradsfunktioner kan vara $ y=x^2+x $, $y=-3x^2-x+2$ eller $y=x^2+20$. Nedan har vi ritat ut grafen till funktionen $ y=x^2+2{x}-1 $

Exponentialfunktioner

En exponentialfunktion är en funktion där variabeln i funktionsformeln sitter i exponentent. Exempel på sådan funktioner kan vara $ y = 6^x + 2 $ eller $ y = e^{2x} $. Nedan har vi ritat ut två olika typer av sådan funktioner. Dels har vi ritat ut $ y=e^x $ samt $y=10^x$.

Trigonometriska funktioner

Trigonometriska funktioner är funktioner som innehåller de trigonometriska sambanden $sin, cos, tan$. Typiskt för sådan funktioner är att de är periodiska och återkommer till samma värden inom ett visst intervall. Nedan har vi ritat ut grafen till funktionen $y=sinx$.

Övriga

Det finns även lite andra typer av funktioner som kan se ut på andra vis. Nedan visar vi några sådana.

Här är $ y=\frac1x $ utritad.

Här är $ y = \sqrt{x} $ utritad.

The post Funktionsutmaning appeared first on Matematikvideo.