i 3 stycken blogginlägg har jag här på Matematikvideo.se introducerat det område inom den diskreta matematiken som kallas för kombinatorik. Du hittar det första inlägget här (introduktion och lådprincipen) och det andra här (additions- och multiplikationsprincipen).
I det här sista inlägget tänkte jag att vi skulle kika på det som kallas för kombinationer och permutationer.
Kombination och permutation – Vilka frågor besvaras?
De flesta principer och metoder inom kombinatorik handlar framförallt om att besvara frågan ”På hur många sätt?”. Man vill ofta ta reda hur många sätt som något kan göras, väljas ut eller grupperas om. Kombinationer och permutationer handlar framförallt om att man vill avgöra på hur många sätt som något kan väljas ut och här är det viktigt att hålla koll på om urvalet görs på ett ordnat eller oordnat vis. Hur skalla man då förstå det här med ordning eller oordning i det här sammanhanget?
För att förklara det här så är det nog enklast att ta ett exempel. Låt säga att vi vill välja ut 3 besättningsmän till en båt ur en grupp på 20 personer.
Ett alternativ är då att välja ut personer till bestämda platser, tex till kapten, styrman och maskinist. Då säger man att urvalet skall ha en bestämd ordning och då kan vi använda det som kallas för permutationer för att veta hur många sätt som detta kan göras på.
Om urvalet inte görs på ett sätt där det får bestämda platser så kallas det istället för en kombination. Här kan man från exemplet säga att man istället bara väljer ut 3 besättningsmän och att dessa inte har några bestämda platser.
Hur beräknas permutationer och kombinationer?
För att kunna göra beräkningar på kombinationer och permutationer så behöver man känna till det som kallas för fakultet och som betecknas ! (utropstecken). Om man exempelvis skall beräkna 4! så multipliceras alla heltal från 4 till 1 med varandra för att få resultatet. Några exempel kan då vara:
- $ 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24 $
- $ 5! = 5⋅4⋅3⋅2⋅1 = 120 $
- $ 0! = 1 $ (definieras på detta vis).
För att sedan beräkna en permutation (urvalet är ordnat) så gäller följande
- $ P(n,k) = \frac{n!}{(n-k)!} $ – Detta innebär att du beräknar antal permutationer av k element bland n element.
Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer till bestämda platser så kan detta göras på
- $ P(20,3) = \frac{20!}{(20-3)!} = \frac{20!}{17!} = 20⋅19⋅18 = 6840 $ olika sätt.
När du skall beräkna en kombination (urvalet är oordnat) så görs detta istället enligt
- $ C(n,k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ – Detta innebär att du beräknar antal kombinationer av k element bland n element.
Så om vi skulle välja 3 besättningsmän ur en grupp på 20 personer där ordningen inte spelar någon roll så kan detta göras på
$ C(20,3) = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20⋅19⋅18}{6} = 1140 $ olika sätt.
Träna på att se när olika principer går att använda
När man håller på med kombinatorik så är det sällan som algebran eller aritmetiken är särskilt krånglig eller kräver särskilt många steg. Istället så är den största utmaningen oftast att förstå själva frågan och vilken av alla principer som går att använda. Ett viktigt moment när du jobbar med denna typ av matematik är därför att sätta sig in i alla principer, försöka se skillnader mellan dessa och att träna mycket på dessa.
Med de här avslutande orden om kombinatorik så avslutar vi denna lilla bloggserie i 3 delar. Hoppas att du som letar grundläggande information i detta ämne har lärt dig något nytt och att du fått en bra övergripande bild av området.