Häromdagen startades det en diskussion här på sajten där det funderades kring området derivata och hur man deriverar uttryck som innehåller bråk. Jag vet att många faktiskt funderar på detta och vill lära sig att hantera sådan derivata så här kommer ett helt blogginlägg om saken där vi tar tag i ett antal olika exempel och löser dessa.
Men innan vi sätter igång måste vi förstå vilka regler och vilka typer av funktioner som vi faktiskt använder. Det räcker inte riktigt att bara prata om funktioner som innehåller bråk. Det spelar nämligen en viss roll vart vi hittar bråket i funktionens formel. Så här nedan delar vi upp förklaringarna i polynomfunktioner med bråk och potensfunktioner med bråk.
Vill du hellre se förklaringarna på video?
Ta hjälp av vår videokurs till matematik 3 som innehåller förklaringar på hur du deriverar med hjälp av deriveringsregler. Med konto hos oss får du tillgång till alla gymnasiets matematikkurser för endast 99 kr/mån.
Derivera Polynomfunktioner som innehåller bråk
En typ av funktion som ofta ställer till det när du skall ta fram derivatan är den av typen
$ f(x) = \frac34x^3 + \frac{5x^3}{2} $
Det här är ett så kallat polynom då vi endast har positiva heltalsexponenter (det vi upphöjer till) men däremot så har vi bråk framför variablerna x. Det som multipliceras med x i ett sådant här uttryck kallas för koefficient. Här har vi alltså funktioner där koefficienterna är bråk och frågan är nu hur vi behandlar dessa?
Här gör vi så att vi använder deriveringsregeln för polynom som står på formen
$ f(x) = ax^{k} $ och har derivatan $ f'(x) = k⋅a⋅x^{k-1} $.
Ett exempel utan bråk när denna används är att $ f(x) = 2x^3 $ har derivatan $f'(x) = 6x^2$.
Nu gör vi så att vi återgår till funktionen $ f(x) = \frac34x^3 + \frac{5x^3}{2} $ och denna funktions derivata. Vi gör så att vi deriverar denna varje term för sig och försöker att belysa vad som är viktigt att tänka på.
Den första termen $\frac34x^3$
Den första termen har derivatan $3⋅\frac34x^{3-1} = \frac{9}{4}x^{2} = \frac{9x^2}{4} $.
Var noggrann här med att lägga märke till att
- här har vi koefficienten $\frac34$ framför x och att det är denna vi multiplicerar med exponenten.
- vi multiplicerar exponenten $3$ med koefficienten $\frac34$ vilket kan skrivas $3⋅\frac34 = \frac31⋅\frac34$ $=\frac{3⋅3}{1⋅4} = \frac94$
Den andra termen $\frac{5x^3}{2}$
Den andra termen $\frac{5x^3}{2}$ fungerar på nästan samma vis men här behöver vi först tänka till vilken som är koefficienten. Vi kan göra det tydligare genom att skriva om termen.
$ \frac{5x^3}{2} = \frac52⋅\frac{x^3}{1}=\frac52 x^3 $ så att vi ser att koefficienten är $ \frac52 $.
Då ser vi att vi kan derivera den här termen på samma vis som den första deriverades. Alltså har vi derivatan $ 3⋅\frac52 x^2 = $ $ \frac31⋅\frac52x^2 = $ $ \frac{15}{2}x^2 =$ $\frac{15x^2}{2}$
Avslutning av exemplet
Här har vi nu alla delar vi behöver för att derivera $ f(x) = \frac34x^3 + \frac{5x^3}{2} $. Vi får alltså derivatan
$ f'(x)=\frac{9x^2}{4}+\frac{15x^2}{2} $
Ett exempel till
Derivera $ y=\frac{x^5}{10} – \frac{x}{5} + \frac12 $.
Lösning:
$ y’=\frac{5x^4}{10} – \frac{1}{5} + 0 = \frac{x^4}{2} – \frac{1}{5} $
Tänk här på att
- derivatan av konstanten $\frac12$ är 0.
- $ \frac{5x^5}{10} $ förkortas med både 5 i täljare och i nämnare så att vi får $\frac{x^4}{2}$.
- $ \frac{x}{5} = \frac15⋅x^1 $ och att vi då får derivatan $ 1⋅\frac15⋅x^0 = \frac15 $
Derivera Potensfunktioner med bråk som koefficienter och exponenter
Vi skall nu gå vidare och titta på hur vi jobbar med potensfunktioner och när dessa innehåller bråktal. I en potensfunktion kan exponenterna vara reella tal också och behöver inte vara heltal. Vi kommer ändå att kunna använda samma deriveringsregler. Det är dock viktigt att ha koll på några olika potensregler för att du skall förstå fortsättningen så vi börjar att repetera några sådana.
- $ \sqrt[n]{x} = x^{1/n} $. Exempelvis kan vi då skriva $ \sqrt{x} = x^{1/2} $ eller $ \sqrt[4]{x} = x^{1/4} $.
- $ x^{-n} = \frac{1}{x^n} $. Exempelvis kan vi då skriva $ x^{-5} = \frac{1}{x^5} $ eller åt andra hållet $ \frac{1}{x^2} = x^{-2} $.
Med dessa regler i bakhuvudet kan vi nu gå vidare och ta två stycken exempel där vi deriverar potensfunktioner som innehåller bråk.
1. Derivera $ y = 3\sqrt{x} $
Lösning:
Här skriver vi först om funktionen till $ y = 3\sqrt{x} = 3x^{1/2} $ med hjälp av potensregeln ovan.
Då får vi derivatan
$ y’ = \frac12⋅3x^{-1/2} = \frac32⋅\frac{1}{x^{1/2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}} $
Tänk på att vi även skriver om derivatan med hjälp av potensreglerna här ovan.
2. Derivera $ y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} $
Lösning:
Vi skriver först om funktionen till $ y = \sqrt[3]{x} + \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{1/3} + x^{-1/2}$.
Då får vi derivatan
$y’=\frac13 x^{1/3-1} – \frac12x^{-1/2-1} = \frac13 x^{-2/3} – \frac12x^{-3/2} =$
$= \frac{1}{3x^{2/3}}+\frac{1}{2x^{3/2}}$
Här kan vi också skriva om $ 2x^{3/2} = 2x^1 x^{1/2} = 2x\sqrt{x} $ i sista steget.
Vill du hellre se förklaringarna på video?
Ta hjälp av vår videokurs till matematik 3 som innehåller förklaringar på hur du deriverar med hjälp av deriveringsregler.
Om du vill läsa mer om hur Matematikvideo fungerar så kan du läsa mer här.
Har du ett exempel du inte kan lösa?
Om du har ett exempel som du kanske inte kan lösa som liknar dessa? Kommentera då gärna detta så fortsätter vi diskussionen kring att derivera roten ur och bråk.
The post Att derivera uttryck som innehåller roten ur eller bråk appeared first on Matematikvideo.